考え方

まず入力例1のケースを図解します。

円の半径が2（R=2）の時、その中に書ける正方形は5つです。

計算を簡単にするために、円の4分の1だけを考えます。（最終的に4倍します）

4分の1にしました。半径はRcmで、円の中心から次の正方形までの距離は0.5cmになります。

ここから、半径に対して垂直な区分線（オレンジ色の部分）を調べます。

正方形の高さは必ず1cmですので、高さがわかれば正方形がいくつ入るかがわかります。

高さは三平方の定理から求めることができます。

$R^2 = height^2 + 0.5^2$

ここでポイントがあります。

4分の1を計算するときに、下図の黄色と緑色にかかる正方形は含めないよう注意します。

まず円の中心にかかっている正方形（黄色）は、1つしかなく、これを含めて数えるとのちに4倍してしまうので数えません。（4倍した後に+1をします）

また、円に含まれる正方形が風車のような形をしている点も考慮します、緑色部分の正方形は左上の扇形にもかかっているので、4分の1の計算をする際にここを数えないようにします。

ですので、実際に数え上げるときは下図のオレンジ色の高さからスタートして数えます。

では、実装しましょう！

コード全文

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import math
r = int(input())
cnt = 0

for i in range(1, r):
    height = math.sqrt( r**2 - (i+0.5)**2)
    height += 0.5

    cnt += int(height)

cnt = cnt*4 + 1

print(cnt)

コード解説

まずは必要なモジュールと入力を書きます。

cnt変数で正方形の数を数え上げていき、最後にcnt変数をprintします。

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import math
r = int(input())
cnt = 0

4分の1中の正方形の数を数える

先ほど説明したように、中心から底辺が1.5cmのオレンジ色部分の高さから数えていきます。

rangeを1始まりにし、heightの計算でiに0.5を足すことで、底辺1.5cmになっています。

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for i in range(1, r):
    height = math.sqrt( r**2 - (i+0.5)**2)
    height += 0.5

    cnt += int(height)

3行目でheight += 0.5をしていますがこれも重要なポイントです。

円のx軸にかかっている正方形は高さが0.5cmでぶった斬れていますので、0.5cm足して底下げをしています。要は図のピンクの四角形をきちんと数えるためです。

最終的にこのオレンジの線が何センチかで、正方形が何個存在するかわかります。

それがcnt += int(height) になります。

円全体の数に直す

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cnt = cnt*4 + 1

4倍し、中心の1個を足して終了です。